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ポアンカレ予想が証明された番組を見た

昨日、ポアンカレ予想とその難問を廻る数学者の努力と苦悩、天才的な数学者による思いも寄らない証明のされ方、中身は判らない点も多かったのですが、なかなか面白く見ました。あまりに熱中して証明に人生をささげてなお、なしとげなかった人も。目標にたどりつけそうで、たどりつけない無限ループとも。

しかし、100年越しの難問をトポロジーでなく物理や積分などを使って解いてしまった学者も、その後ノーベル賞を受けながら失踪するなど不可解な行動に。数学の魅力と魔力を見るようでした。

番組中で紹介されていたポアンカレ予想は、宇宙にロープを掛けて引いたとして、引っかからずに回収できたら少なくとも宇宙は丸いといったもの。あれ、持っている本で別の記述を見た記憶が。。

と探してみたら、1971年に買っている、マーチン・ガードナー著、金子務訳「100万人の相対性理論」。この本で紹介されていらのは、相対性理論の原点と言うか、ある日突然回りのすべてが1000倍も大きくなっても、絶対的に計るものがなければ証明はできないというもの。ウラシマ効果とか重力場とか、SF心をくすぐる書き方で、面白く読みました。 

エントロピーについての話の、都筑卓司著「マックスウェルの悪魔」も、分子をより分けることが出来る悪魔の話、永久機関の話やジーンズの奇跡の話などSFぽくて、これも図書館では飽き足らず購入してしまいました。

100manninno_soutairon

今では相対性理論も完璧ではないと証明されたり、ワープ航法の否定などSFの夢が否定される部分もありますが、数式は一向に判りませんが、宇宙論はやはり浪漫を感じます。前記2冊も、日進月歩の進歩に対応して手を入れたものや新装版がでていました。

相対性理論が驚異的によくわかる (100万人の相対性理論に新理論を加筆修正した感じ)

その他、マーチン・ガードナーの本は、サム・ロイドのパズル百科(3)全3巻も面白く、本棚にまだとってあります。

ところで、表題の番組ですが、後半難しくて寝てしまい、録画したのでもう一度見直したのですが、やっぱり難しかったという。。 ^_^;


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コメント

NHK番組を見て、私なりに考えてみました。ご感想をお寄せください。ポアンカレ予想とは『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙を旅行する。そして、地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープ全体を引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題です。これは3次元閉多様体(3次元の縁の無い繋がった一枚の面)の中で、球体(3次元球面)以外にロープの引っ掛らない(単連結)の形があるかと言うことです。3次元閉多様体の作り方が有限ならば3次元閉多様体の数も有限であり、1つ1つ検証すれば、回答が出ます。ヒントは、3次元閉多様体を平面で輪切りにした時、必ず一本の輪になっており、その平面を幾ら動かしてもその輪は連続しており、必ず元の輪の位置に戻ると言う事です(ドーナツ形を考えて下さい)。輪の途中が切れていたり、元の位置の輪に戻らず途中で消えていたら、穴が開いている(=端がある)ことになります。小さくなり点になって消えること(鉛筆のキャップの形)はありますが、トポロジーではその部分は、縮めて無くすることが出来る為、その場合は無視して良いのです。二つの輪に枝分かれすることはあります。しかし、その輪は枝分かれした元の位置に必ず戻ります。(2つ穴のあるドーナツ形を考えてください)従って、枝分かれした場合、2つの基本的な形の組合せで出来ていると考えます。従って、3次元閉多面体の基本形は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。輪の形と動かし方の違いで、異なる形が出来ます。輪には3つの形があります。○(丸形)・∞(無限大形)・◎(一筆書二重丸・文字が無い為便宜上◎を使用する=一筆書きで二重丸を書いた形)です。この3種の輪は平面上で幾ら動かしても、他の輪にはなりません。∞は○にしようとしても、折り返せない点が外側に残ります。◎を○にしようとしても、折り返せない点が内側に残ります。従って、輪を移動させる途中で他の輪になることはありません。では∞にもう一捻りを加え三つの丸い部分のある形はどうでしょうか。これは、平面上で○になります。丸い部分が偶数なら∞になり、奇数なら○になります。一筆書き三重丸は平面上で○になります。この場合、丸が偶数なら◎に、奇数なら○になります。従って、輪の種類はこの3種類しかありません。基本的な動かし方は4種類あります。①輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、(○の場合球体になります。∞の場合回転軸は2本取れますが、いずれも一点に於いて面が交わる為、存在しません。◎の場合回転軸は一本取れますが、これも面が一点に於いて交わる為存在しません。)②輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、(○の場合、ホースの口と口を向かい合わせに繋いだドーナツ形になります。◎の場合は、縦切り口が◎のドーナツ形[=幾ら伸縮し面と面をすり抜けさせて変形しても、ドーナツの内側に折り返せない輪がドーナツの穴を取り囲むように横{ドーナツを横たえた場合}に残ります])∞の場合は、縦切り口が∞のドーナツ型[=変形しても、ドーナツの外側に折り返せない輪が横に残ります])③輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、来た軌道とは異なる軌道を通って元の輪の位置に戻る方法、(○の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形=クラインの壷になります)④輪を上下方向に移動させつつ元の輪を取り囲むように大きくした上で元の位置に戻す方法、(○の場合ドーナツ形で②の方法と同じ形になります。)
トポロジーでは、面は幽霊の様にお互いにすり抜ける為、途中複雑に結び目が出来る様に動かしても、すり抜けて結び目は出来ず、この4種類の方法で作った形に還元されます。②で2回転させて元の位置に戻しても、面と面がすり抜ける為、ドーナツ形になります。③の途中で引き返すことを2度行った場合は、変形すると単なるドーナッツ形になります。輪が元の位置に戻る動かし方は、この基本的にはこの4種類のみです。ただし、途中の動かし方の変化が②③④には3種類あります。②について言えば、前記方法と、回転の途中で引き返し、来た輪を取り巻く様に大きくし、また元の進行方向に引き返しながら輪を小さくして元の位置に戻す方法(ホースを内側が外側になる様に外側にひっくり返えして剥き、また外側が内側になる様に内側にひっくり返した上で切り口をつなげた形=変形させても、ドーナツの外側に縦方向[ドーナツを横たえた時]に折り返せない輪が残ります)、逆に途中で引き返しながら輪を来た輪の内側に入り込む様に小さくし、また元の進行方向に引き返しながら輪を大きくして元の位置に戻す方法(ホースを外面が内側になる様に内側にひっくり返した上で、今度は内面が外側になる様に外側にひっくり返し切り口をつなげた形=幾ら変形してもドーナツの内側に縦方向の折り返せない輪が残ります)の3種類です。2回この操作を行うと変形すると唯のドーナツに戻ります。③について言えば、移動の途中に②の場合と同じ動きを入れる方法です。変形しても折り返せない縦の輪(ホースの切り口と同じ形の輪)がクラインの壷に残ります。この場合、内面と外面が繋がっている為、外側の輪を移動させれば内側の輪となる為同じ形と言えます④について言えば、単純にぐるりと一回動かす方法(○②と同じ形)と、輪を2回転させて元の位置に戻す方法(ドーナツの縦断面は一筆書二重丸=◎②と同じ形)と輪を∞の様に動かす方法(ドーナツの縦断面は∞=∞②と同じ形)の3通りありますが②と同じ形になります。3回転させた場合、変形すると唯のドーナツになります。∞の○が3つになる様に動かしても、変形すると唯のドーナツ形になります。以上述べた、Ⅰ球体・Ⅱドーナツ形・Ⅲ内側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形・Ⅳ外側に折り返せない横の輪のあるドーナツ形・Ⅴ内側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形・Ⅵ外側に折り返せない縦の輪のあるドーナツ形・Ⅶクラインの壷・Ⅷ折り返せない縦の輪のあるクラインの壷の8種類の基本形が存在します。この8種類の形は幾ら伸縮し、面と面をすり抜けさせても他の形にはなりません。上記以外の輪と動かし方の組合せでは、3次元閉多様体にならないことが分かります。つまり、物の形はこの8種類の組合せで作られていることが分かりました。Ⅱ.Ⅴ.Ⅵではドーナツの穴が引っ掛りロープは回収出来ません。Ⅲ.Ⅳ.Ⅶ.Ⅷでは面の内側と外側が繋がっており、ロープの輪の中に縁の無い面(どこまでも続く面)が存在する為、ロープは回収出来ません。ロープを回収できる形はⅠの球体のみです。宇宙を構成している部分に、球体以外の形が一つでも含まれている場合は、ロープを回収することは出来ないのです。従ってロープが全て回収出来た時、この宇宙は『おおむね丸い』と言えます。

投稿: catbird | 2007年11月22日 (木) 午前 12時50分

catbirdさん、コメントありがとうございます。

最近、特にこちらにはあまり書いて無いのでコメント公開遅れて申し訳ありません。本文より長いコメント書き込みお疲れ様です。(コメントと言うか、ポアンカレ予想の解説でしょうか?)

文中にも触れている通り、素人のSFファンとして興味があるだけなので詳しく判らず、感想といっても番組を見直したのと同じ程度にしか理解できませんでした。既に図や式をを理解している方なら、噛み砕いた解説なのでしょうが。。

やはり、素人には文章のみだと難しいです。

投稿: 星月夜 | 2007年11月30日 (金) 午後 10時47分

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